Дополнительные сложности при работе с вероятностями. Часть 2

Эффект определённости (The Certainty Effect)

В известной работе Канемана и Тверски 1979 года приведено много примеров эффекта определённости, когда люди переоценивают гарантированные исходы по сравнению с вероятными.

Вот один из примеров. Выберите один из двух вариантов:

• A. 2500 долларов с вероятностью 0,33; 2400 долларов с вероятностью 0,66 и ничего с вероятностью 0,01;
• B. 2400 долларов наверняка.

Теперь снова выберите один из двух вариантов:

• C. 2500 долларов с вероятностью 0,33; ничего с вероятностью 0,67;
• D. 2400 долларов с вероятностью 0,34; ничего с вероятностью 0,66.

Канеман и Тверски обнаружили, что 82% опрошенных в первом случае выбрали вариант B. Это нормальный выбор, в нём нет ничего плохого. Проблема в том, что во втором случае 83% тех же опрошенных выбрали вариант C. Этот выбор противоречит выбору B в первом случае. Подробнее:

Предпочтение варианта B в первом случае означает, что полезность 2400 долларов больше, чем полезность 2500 долларов с вероятностью 0,33 плюс полезность 2400 долларов с вероятностью 0,66. Формально можно записать так:

   u($2400) > 0,33u($2500) + 0,66u($2400)

Вычитая 0,66u($2400) из обеих частей неравенства, получим:

   0,34u($2400) > 0,33u($2500)

Однако это именно то, что предлагается во втором случае. Тем не менее люди во втором случае выбирают вариант C, словно 0,33u($2500) > 0,34u($2400). (Функция полезности u(сумма) словно бы даёт разный результат в зависимости от вероятности.)

Канеман и Тверски описывают это поведение в рамках модели «теории перспектив» (prospect theory), исходя из того, что «вес» функции полезности действительно нелинейно меняется в зависимости от вероятности, как показано на рисунке ниже. Это хорошо описывает «перевешивание» варианта C во втором случае, когда увеличения вероятности варианта D недостаточно для придания ему веса.

Трудности «распаковки» составляющих в оценке вероятностей

Ранее мы видели трудности, испытываемые людьми при конъюнкции. В «проблеме Линды», конечно, конъюнкция в прямом виде вообще не применяется — из-за «подстановки атрибутов» задача не рассматривается как вероятностная. Вместо оценки вероятностей задача замещается гораздо более простой задачей «похожести» (»банковская служащая-феминистка» больше похоже на Линду, чем просто «банковская служащая»).

Однако проблемы возникают и при оценке отдельных составляющих — особенно, когда эти составляющие не перечислены явно.

В 1994 году Тверски и Кёхлер опубликовали отчёт об исследовании, в котором две группы оценивали процент смертей в США по разным причинам. Первая группа оценила, что «по естественным причинам» происходит 58% смертей. Вторая группа сочла, что от рака случается 18% смертей, от сердечного приступа 22% и по прочим естественным причинам 33% смертей. Легко видеть, что общий процент смертей от естественных причин (73%) намного выше оценки первой группы, которая не дробила по причинам (58%).

Ситуация с неточным подсчётом процента «смертей от естественных причин» — типичный пример оценки неявного перечисления. При оценке общей суммы люди систематически недооценивают — результат оценки «категории как целого» часто меньше суммы оценок каждой составляющей. Минимизируя мыслительные усилия, люди при оценке категории в целом не «распаковывают» её, не перечисляют её составляющие.

Ошибка игрока

Пожалуйста, ответьте на два вопроса:

Вопрос A. Вы кидаете честную монету, у которой шансы «орёл»/«решка» равны 50/50. «Орёл» выпал пять раз подряд. На шестом броске:

• более вероятно, что выпадет «решка»?
• более вероятно, что выпадет «орёл»?
• равновероятно, что выпадет «орёл» или «решка»?

Вопрос B. У «однорукого бандита» люди выигрывают в среднем один раз из десяти. Юлия только что выиграла три раза подряд. Каковы её шансы выиграть в четвёртый раз?

На этих вопросах хорошо видна так называемая «ошибка игрока», когда люди видят связь между прошлыми и будущими событиями в то время как они совершенно независимы. Свойством независимости прошлых и будущих событий обладают многие азартные игры, в том числе рулетка. Не будем учитывать тонкости вроде «зелёного зеро» или «двойного зеро» и предположим, что половина секторов рулетки красная, половина чёрная. Шансы красного или чёрного сектора, таким образом, 0,5. Даже после пяти или шести красных подряд шанс, что следующим выпадет красный сектор, всё равно 0,50 (при исправной рулетке, конечно).

Ошибка игра проявляется не только у новичков. Профессиональные игроки, которые посвящают игре 20 и более часов в неделю, подвержены ей даже больше, чем обычные люди.

Важно понимать, что ошибка игрока возникает не только в азартных играх. Например, пол будущего ребенка тоже определяется с вероятностью приблизительно 0,50, но очень часто пары, имеющие двух девочек, хотят третьего ребёнка, потому что «уж на этот-то раз обязан родиться мальчик!»

Ошибка игрока связана со множеством ошибок при оценке вероятности разных случайных событий. Одна из характерных ошибок — убеждённость в том, что действительно случайная последовательность не может содержать никаких «неслучайных» последовательностей типа «HHHHHH» или «HHTTHHTTHHTTHHTTHHTT». По этой причине люди не могут придумать «истинно случайные» последовательности — когда они пытаются сделать это, у них получается слишком мало непрерывных повторов или шаблонов. В попытках добиться случайности люди слишком часто меняют соседние значения в последовательности, чтобы избежать повторов.

На этом основана демонстрация паранормальных способностей, время от времени устраиваемая для студентов-психологов. Одного из студентов просят записать на листе бумаги двести цифр из множества (1,2,3) в случайном порядке. Этот список видит только студент, но не преподаватель. Студента просят сосредоточиться на первой цифре последовательности, а преподаватель пытается её угадать. Когда преподаватель называет цифру, студент сообщает аудитории верную цифру и отмечает «угадал / не угадал», после чего мысленно сосредотачивается на следующей цифре.

Важно отметить, что перед началом демонстрации преподаватель сообщает, что продемонстрирует свою «психическую мощь» и просит аудиторию заранее определить, какого процента угаданных им цифр будет достаточно для доказательства наличия у него паранормальных способностей. Понятно, что при случайном угадывании будет около 33% попаданий, поэтому класс обычно соглашается с тем, что для доказательства паранормальных способностей преподавателя требуется не меньше 40% угаданных цифр. Затем проводится демонстрация и результат попаданий существенно больше 40% изумляет многих.

Знакомые с тем, как люди придумывают случайные последовательности, легко догадаются, в чём дело. Преподаватель знает, что люди при этом стараются избегать длинных повторов и прочие одинаковых последовательностей. Какова вероятность появления двойки после двух двоек подряд? По-прежнему 1/3. Но люди пытаются придумать случайную последовательность и не пишут третью двойку подряд! Таким образом, преподавателю достаточно назвать любую из двух цифр, кроме последней названной студентом, чтобы «угадывать» чаще чем в 33% — без всякой телепатии.