Judgment

Предупреждение. Данная часть требует некоторого знакомства с теорией вероятности. Кое-какие базовые понятия здесь Станевичем упоминаются, но явно не полностью.

Для достижения эпистемической рациональности необходимо, чтобы убеждения основывались на оценках вероятностей, приближенных к реальности. Вычисление вероятностей — одна из моделей таких оценок.

Чисто математически понятие “вероятность” подчиняется определенным объективным правилам. Самые важные:

• вероятность всегда не меньше нуля и не больше единицы. Формально:
  0 ≤ P(A) ≤ 1, где P — значение вероятности события A;
• если нечто случается достоверно, всегда, то его вероятность равна единице;
• если нечто не случается вообще никогда, то его вероятность равна нулю;
• если события A и B не могут случиться одновременно, они называются взаимоисключающими. Вероятность наступления любого из взаимоисключающих событий — это сумма вероятностей каждого события в отдельности: P(A или B) = P(A) + P(B);

Часто событие A может случиться, когда событие B уже произошло (“если человек дожил до 80, он может дожить и до 90”). Вероятность события A в этом случае “условная вероятность” и записывается как P(A/B).

Для взаимоисключающих событий A и B вероятность P(A/B) = 0, как и P(B/A) = 0.

Для любых событий A и B вероятность P(A/B) = P(A и B)/P(B). Физический смысл — предположим, что:

• до 80 доживают половина. Вероятность 0,5 (это событие B);
• до 90 доживает треть. Вероятность 0,3 (это событие “A и B”);

Тогда вероятность “дожил до 80 и доживёт до 90”: 0,3 / 0,5 = 0,6, то есть если уж человек дожил до 80, то шансов дожить до 90 у него выше среднего.

Таким образом, мы можем описывать вероятности комбинаций событий. Путём простых преобразований мы получим одну из самых известных формул в теории принятия решений — теорему Байеса или правило Байеса.

Эта формула была получена английским математиком Реверендом Томасом Байесом ещё в 18 веке и решает не просто абстрактную задачу преобразования P(B/A) в P(A/B).

Данной формулой описывается формальное правило обновления наших убеждений на основе полученных в результате наблюдения данных.

Это правило отвечает на вопрос “насколько можно доверять гипотезе B, предсказывающей наблюдение A”, если известны:

• степень доверия к гипотезе B до наблюдения A (насколько мы уверены в теории?);
• уверенность теории B в предсказании A (насколько сильно теория разрешает существание A?);
• степень доверия к альтернативной гипотезе (насколько мы уверены в других гипотезах?);
• уверенность альтернативной гипотезы в предсказании A (насколько сильно другие гипотезы разрешают существание A?);
• событие A уже произошло.

Прежде чем перейти к ней, немного об обозначениях. Хотя в дальнейшем используется сравнительно много математических символов, суть теоремы Байеса может быть понята вообще без математики. Формальные вычисления полезны, если нужна точная уверенность, но проще научиться нескольким правилам размышления, по аналогии с аксиомами выбора.

• P(H) — вероятность того, что гипотеза H верна, до эксперимента;
• P(~H) — вероятность того, что гипотеза H неверна, до эксперимента;
• P(H/D) — вероятность того, что гипотеза H подтверждается наблюдением D, после эксперимента;
• P(D/H) — вероятность того, что наблюдение D предсказывается гипотезой H (насколько сильно гипотеза H требует существования наблюдения D);
• P(D/~H) — вероятность того, что наблюдение D предсказывается гипотезой, альтернативной H (насколько сильно гипотеза, альтернативная H. требует существования наблюдения D).

Обратите внимание, что P(D/H) ни в коем случае не противоположность P(D/~H) — наблюдение D может предсказываться разными гипотезами с произвольной степенью уверенности, то есть с разными вероятностями, и сумма этих вероятностей не равна единице!

Пример. На месте преступления обнаружен нож. Известно, что корсиканцев среди преступников 20%, что корсиканцы оставляют нож на месте преступления в семи случаях из десяти, а остальные в четырёх случаях из десяти. С какой вероятностью нож оставил корсиканец? Более формально:

• H — гипотеза “преступление совершил корсиканец”;
• D — событие “на месте преступления найден нож”;
• P(H) — вероятность того, что преступление совершил корсиканец, равна 0,2;
• P(D/H) — гипотеза “нож оставил корсиканец” предсказывает наличие ножа с вероятностью 0,7;
• P(D/~H) — остальные гипотезы предсказывают наличие ножа с вероятностью 0,4;

Подсчитываем: (0,2 * 0,7) / (0,2 * 0,7 + 0,8 * 0,4) = 0,14 / (0,14 + 0,32) = 0,14 / 0,46 = 0,304„,

Таким образом, оценка вероятности того, что преступление совершил корсиканец, увеличилась после того, как на месте преступления был найден нож. (Увеличилась на сравнительно небольшую величину, так как корсиканцев немного!)

У людей очень часто сложности с пониманием того, как обновлять свои убеждения согласно формуле Байеса. Необходимо подчеркнуть, что смысл не в том, чтобы научиться точно высчитывать, а в том, чтобы быстро получать оценку в верном направлении. Суть байесианского размышления состоит именно в этом.

В предыдущей части рассмотрено, как ошибка оценки базовой (априорной) вероятности приводит к ошибкам. Часто же проблема кроется не в оценке вероятностей, а в учёте свидетельств, которые могли бы изменить наши убеждения.

Для иллюстрации этого типа ошибок перепишем формулу Байеса немного иначе. Исходная формула выводит вероятность основной гипотезы H с учётом свидетельства D:

Разумеется, можно посчитать и вероятность противоположной гипотезы ~H с учётом новых данных D. Это лишь вопрос переобозначения:

Поделив левые и правые части обеих равенств, приходим к одной из форм теоремы Байеса (ещё её называют “odds form”, “соотношением шансов”):

• P(H/D) / P(~H/D) — отношение вероятностей истинности основной и противоположной гипотез с учётом новых данных;
• P(D/H) / P(D/~H) — отношение оценок правдоподобия новых данных с точки зрения основной и противоположной гипотезы. Ещё можно это назвать отношением уверенностей, с которыми новые данные предсказываются основной и противоположной гипотезами;
• P(H) / P(~H) — отношение вероятностей истинности основной и противоположной гипотез вообще, ещё до новых данных.

Словами это можно выразить примерно так: чем увереннее противоположная гипотеза предсказывает событие И чем меньше ей доверяли до эксперимента, тем больше вероятность истинности противоположной гипотезы, если событие всё же случилось.

Часто при оценке значимости, весомости свидетельства (P(D/H) / P(D/~H)) люди недооценивают необходимость учёта знаменателя на тот случай, если основная гипотеза неверна.

Все больше исследований показывают, что недооценка того, что данные могут свидетельствовать в пользу противоположной гипотезы, воистину вездесуща. Показателен следующий эксперимент. Испытуемых просили представить, что они обследуют пациента с красной сыпью на теле. Им предложили четыре вида сведений и предложили выбрать те, что важны для постановки правильного диагноза вымышленной болезни Digirosa:

• процент людей, больных Digirosa;
• процент людей, не больных Digirosa;
• процент людей, больных Digirosa и имеющих на теле красную сыпь;
• процент людей, не больных Digirosa и имеющих на теле красную сыпь.

Легко видеть, что эти сведения соответствуют четырём элементам формулы Байеса: P(H), P(~H), P(D/H) и P(D/~H). Хотя P(D/~H) (процент людей, не больных Digirosa и имеющих на теле красную сыпь) очевидно необходим при постановке диагноза, 48.8% испытуемых не учли этой информации — те, кто не болен Digirosa и имеет на теле красную сыпь, казались не относящимися к делу.

Важность P(D/~H) часто кажется контринтуитивной. Необходимо научиться учитывать её или вы так и будете её игнорировать. Вот ещё один пример, в котором необходимость учёта P(D/~H) кажется странной даже после предупреждения.

Представьте, что вы готовитесь к встрече с Давидом Максвеллом. Вам необходимо оценить, с какой вероятностью он является профессором университета. Вы получаете ту или иную информацию для размышлений.

Шаг 1. Вам сообщили, что Давид Максвелл был на приёме, на котором из 100 присутствовавших 25 были профессорами университетов, а 75 бизнесменами. Вопрос: какова вероятность того, что Давид Максвелл профессор университета?

Шаг 2. Вы узнали, что Давид Максвелл состоит в престижном клубе. 70% профессоров, бывших на приёме, являются членами этого клуба. 90% бизнесменов с того же приёма также являются членами клуба. Вопрос: какова вероятность того, что Давид Максвелл профессор университета?

На первом шаге всё просто — вероятность 0,25. Во втором шаге имеется небольшая тонкость. Кажется, что раз больше половины профессоров состоят в клубе, то вероятность того, что Давид Максвелл профессор, следует увеличить. Это и есть игнорирование свидетельства P(D/~H). На деле же принадлежность к клубу более характерна для бизнесменов. Тем самым вероятность того, что Давид Максвелл профессор, надо не увеличить, а уменьшить. Разберём второй шаг подробнее:

• шансы, что Давид Максвелл профессор, до второго шага:
  0,25 / 0,75 = 0,333;
• отношение правдоподобия с учётом новых данных:
  0,70 / 0,90 = 0,777
• шансы, что Давид Максвелл профессор, на втором шаге:
  0,777 * 0,333 = 0,259

Формальные вычисления согласно теореме Байеса также указывают на уменьшение вероятности того, что Давид Максвелл профессор, с 0,25 на первом шаге до 0,206 на втором шаге: (0,70 * 0,25) / (0,70 * 0,25 + 0,90 * 0,75) = 0,206.

В эксперименте автора лишь 42% испытуемых уменьшили свою оценку вероятности на втором шаге. Остальные не учли, что более высокое значение P(D/~H) “перевешивает” значимость P(D/H).

Ещё один пример того же самого, но иначе поданного. Вообразите, что вы встречаетесь с Марком Смитом. Вам необходимо оценить, с какой вероятностью он является профессором университета. Вы снова получаете ту или иную информацию для размышлений.

Шаг 1. Вам сообщили, что Марк Смит был на приёме, на котором из 100 присутствовавших 80 были профессорами университетов, а 20 бизнесменами. Вопрос: какова вероятность того, что Марк Смит профессор университета?

Шаг 2. Вы узнали, что Марк Смит состоит в престижном клубе. 40% профессоров, бывших на приёме, являются членами этого клуба. 5% бизнесменов с того же приёма также являются членами клуба. Вопрос: какова вероятность того, что Марк Смит профессор университета?

В этой задаче на первом шаге всё просто — вероятность 0,80.

На втором шаге отношение правдоподобия намного больше единицы (0,40/0.05) и P(D/H) мало (0,40). Кажется разумным пренебречь P(D/~H) как очевидно малым, даже несмотря на то, что оно должно уменьшать вероятность того, что Марк профессор университета. На деле байесианское вычисление показывает, что эта вероятность с 0,8 на первом шаге возрастает до 0,97 на втором: (0,40,8)/(0,40,8+0,05*0,2)=0,97. Тем не менее, лишь 30% испытуемых попытались на втором шаге _увеличить_ оценку вероятности.

Таким образом, любая переоценка от шага 1 к шагу 2 должна учитывать P(D/~H). Совсем необязательно точно всё подсчитывать, достаточно указать в верном направлении — вот суть байесианского мышления.

Игнорирование противоположной гипотезы — знаменателя в отношении правдоподобия — не просто ошибка. Во врачебной практике бывает жизненно необходимо помнить про противоположные версии диагнозов. Вся наука держится на том, чтобы принимать в расчёт одинаково как “за”, так и “против”.

Вот ещё пример: предположим, у вашей сестры есть машина, купленная пару лет назад, марки то ли X, то ли Y, вы не помните точно. Вы помните, что она проезжает 25 миль на одном галлоне бензина и ещё ни разу не ремонтировалась. Вы знаете, что:

• 65% машин марки X проезжают 25 миль на одном галлоне.

Доступны также следующие сведения:

• % машин марки Y, что проезжают 25 миль на одном галлоне;
• % машин марки X, не требовавших ремонта в первые два года эксплуатации;
• % машин марки Y, не требовавших ремонта в первые два года эксплуатации;

Вопрос: если вы можете получить только одно из этих трёх сведений, что вы выберете, чтобы уточнить, какой марки машина вашей сестры?

Разберём задачу подробно:

• гипотеза H1 — машина марки X;
• гипотеза H2 — машина марки Y;
• D1 — диагностический признак “машина проезжает 25 миль на одном галлоне”;
• D2 — диагностический признак “машина не требует ремонта в первые два года эксплуатации”.

У нас есть один кусочек сведений, P(D1/H1), какой процент машин марки X проезжает 25 миль на одном галлоне.

Возможны два отношения правдоподобия: P(DI/Hl)/P(Dl/H2) и P(D2/HI)/P(D2/H2). Так как мы не можем получить оба, то разумно суметь вычислить полностью хотя бы одно и запросить P(Dl/H2), узнав, какой процент машин марки Y проезжает 25 миль на одном галлоне. Если этот процент будет отличаться от известных нам 65%, у нас появится пища для содержательного размышления.

Выбор выглядит ясным, но для неподготовленного человека он совершенно не очевиден. Эксперименты показали, что большинство (60,4%) желает уточнить P(D2/H1) процент машин марки X, не требовавших ремонта в первые два года эксплуатации. Это совершенно бесполезная информация, так как мы не можем узнать P(D2/H2). Без знания того, какой процент машин марки Y не требует ремонта в первые два года, полученную информацию невозможно использовать.

Сильное беспокойство вызывает то, что схожие результаты дал аналогичный эксперимент со студентами старших курсов медицинских вузов. Они пытались диагностировать тропическую болезнь типа A или B. Им сообщили вероятность P(симптом1/болезнь-A) P(симптом1/болезнь-A) и предложили на выбор одно из трёх сведений: P(симптом1/болезнь-B), P(симптом2/болезнь-A) или P(симптом2/болезнь-B). Ясно, что лишь первое из них давало возможность сравнить шансы, но 69.3% медиков-старшекурсников не смогли это увидеть.

Тенденция игнорировать иные возможные объяснения особенно ярко проявляется в широко известном “эффекте Барнума” (Барнум, знаменитый циркач, известен фразой “Дураки рождаются ежеминутно”). Часто на подготовительных курсах психологии преподаватель собирает образцы почерков всех учащихся и через неделю раздаёт “личные персональные уникальные анализы” почерка, составленные из общих фраз. Обычно учащиеся высоко оценивают точность подобных “анализов” — от 7 до 9 баллов по 10 баллов. Когда их просят сравнить описания, они бывают ужасно ошеломлены, увидев у соседей то же описание, что у себя. Именно эффект Барнума лежит в основе мифов о точности астрологии и тому подобных псевдонаук.

Если приглядеться к причинам этого, то мы увидим нашего старого знакомого — игнорирование P(D/~H). Люди неявно оценивают вероятность того, что описание “обычно вы открыты и дружелюбны, но иногда замкнуты и неразговорчивы…” относится к ним и оценивают её как высокую. Более формально, высокой оценивается вероятность

P("вы открыты и т.д."/"это описание сделано для меня лично")

Это, разумеется, не отношение правдоподобия. Это всего лишь P(D/H). Чтобы оценить шансы правдоподобия гипотез, необходимо знать P(D/~H), то есть

P("вы открыты и т.д."/"это описание сделано для всех людей вообще")

Конечно, мы немедленно увидим, что эта вероятность точно так же высока. Описание “вы открыты и т.д.” настолько размыто, что применимо практически к каждому, кто готов узнать в нём себя. Таким образом, отношение правдоподобия

P("вы открыты и т.д."/"это описание сделано для меня лично") / P("вы открыты и т.д."/"это описание сделано для всех людей вообще")

всегда равно примерно единице. Согласно формуле

 (шансы истинности гипотезы после наблюдения) = (отношение правдоподобия) * (шансы истинности гипотезы до наблюдения)

сколько бы данных ни было собрано, при отношении правдоподобия, примерно равном единице, шансы истинности гипотезы не изменятся — свидетельства не влияют на них! Иными словами, данное свидетельство не несёт ничего нового — это очевидно, если обратить внимание на P(D/~H).

Ошибка конъюнкции

Рассмотрим знаменитую “проблему Линды”:

Линде 31 год, она не замужем, за словом в карман не лезет и очень сообразительная. Она училась на факультете философии. Студенткой много размышляла о дискриминации и социальной несправедливости, участвовала в демонстрациях против распространения ядерного оружия.

Оцените эти утверждения по шкале от 1 (самое вероятное) до 8 (наименее вероятное):

• a. Линда учитель в начальной школе ___;
• b. Линда продавец в книжном магазине и посещает занятия по йоге ___;
• c. Линда активно участвует в движении феминисток ___;
• d. Линда социальный работник ___;
• e. Линда состоит в лиге Защиты Прав Женщин ___;
• f. Линда банковский служащий ___;
• g. Линда менеджер по продажам ___;
• h. Линда банковский служащий и активно участвует в движении феминисток ___;

Большинство людей при прохождении этого теста демонстрирует так называемую “ошибку конъюнкции”. Вариант “h” (Линда банковский служащий и активно участвует в движении феминисток) является соединением вариантов “c” и “f”, поэтому вероятность варианта “h” не может быть выше вероятностей “с” или “f”. Тем не менее, свыше 80% опрошенных присваивает варианту “h” более высокую вероятность, чем вариантам “c” или “f”

Такое часто случается благодаря эффекту “подстановки атрибута”. Он возникает, когда необходимо оценивать один атрибут предмета, а на деле оценивается другой атрибут, связанный с первым — по принципу “меньшего труда”. Например, в данном примере “участник движения феминисток” кажется ближе к Линде и “тащит” за собой “банковский служащий”, а сам по себе атрибут “банковский служащий” с описанием Линды никак не связан и его труднее принять во внимание. Логика, конечно же, диктует нам, что множество “феминистки И банковские служащие” является лишь частью множества “банковские служащие” и потому меньше его.

Инвертирование условных вероятностей

Инвертирование условных вероятностей — одна из тех ошибок в оценке вероятностей, которая часто отражается на реальной жизни, Речь о предположении, что вероятность события A при условии наступления события B – это то же самое, что вероятность события B при условии наступления события A. Это два совершенно разных случая часто принимаются за один. Конечно, иногда различие очевидно: например, вероятность беременности при условии сексуального контакта совсем не то же самое, что вероятность сексуального контакта при условии беременности. Но бывают и более сложные случаи.

Напомним определение условных вероятностей:

     P(A/B) = P(A и B)/P(B)
     P(B/A) = P(A и B)/P(A)

Когда вероятность события A намного больше условного события B, тогда P(A/B) будет намного выше, чем P(B/A).

В 1988 году в одной из калифорнийских газет была опубликована статья с результатами опроса студентов. Опрос, как казалось, подтверждал, что вероятность употребления тяжёлых наркотиков растёт, если человек курил марихуану. На самом деле опрос показал, что вероятность того, что человек курил марихуану, выше среди тех, кто употреблял тяжёлые наркотики. Это два совершенно разных случая. Вероятность того, что студент употребляет тяжёлый наркотик, попробовав перед тем марихуану, намного, намного меньше, чем вероятность того, что употребляющие тяжелый наркотик раньше курили марихуану.

Большинство курящих марихуану не пробовали тяжелых наркотиков, но большинство употребляющих тяжёлые наркотики раньше курили марихуану.

Для наглядности:

Очень немногие (60 из 3010, меньше 2%) употребляют тяжёлые наркотики, зато примерно треть курили марихуану. Вероятность того, что употребляющие тяжёлые наркотики курили марихуану, весьма велика:

P(курили марихуану / употребляют тяжёлые наркотики) = 50/60 = 0,83

Тем не менее, вероятность того, что курящий марихуану перейдёт на тяжёлые наркотики, весьма мала:

P(употребляют тяжёлые наркотики / курили марихуану) = 50/1000 = 0,05

Важная область, в которой инвертирование условных вероятностей происходит особенно часто — диагнозы в медицине. Обнаружено, что как пациенты, так и врачи путаются, ошибочно считая, что вероятность болезни, сопровождаемой данным симптомом — это то же, что вероятность данного симптома при этой болезни.

Например, если я вам скажу, что некоторый тест обнаружил у вас рак, вы будете, мягко говоря, обеспокоены. Если я добавлю, что точность данного конкретного теста 90%, вы взбудоражитесь ещё больше. Однако если я вам скажу, что вероятность рака на самом деле меньше 20%, всё станет выглядеть намного лучше, правда?

Подробнее: предположим, этот тест проверили на 1000 человек. Рак нашли у ста из них. Для наглядности:

Из таблицы видно, что точность теста в самом деле 90% — реальный рак он нашёл в 90 случаях из ста. Это вероятность P(положительный тест / рак действительно есть). Это очевидно не то, что нужно вам. Вам требуется вероятность P(рак действительно есть / положительный тест), а она равна лишь 90/590=15,3%.

К несчастью, это далеко не придуманный пример. Известен случай, когда врач порекомендовал превентивную терапию, спутав вероятность рака по показаниям теста, с вероятностью срабатывания теста при раке. Так как превентивная терапия заключалась в удалении молочных желез, вы теперь можете понять, насколько серьёзными могут быть последствия ошибок обсуждаемого вида.

Дополнительные сложности при работе с вероятностями. Часть 3

Оценка вероятностей: клинические предсказания против страховых

Понимание и избегание ошибки игрока — не-математическое знание большой силы. Оно даёт глубокое понимание того, что большинство событий составляет сложную смесь результатов случайных и не-случайных, систематических, факторов.

Нежелание признать роль случайности способно уменьшить нашу способность предсказывать результаты. Осознание роли случайности требует признания того, что наши предсказания никогда не бывают стопроцентно точны и всегда содержат ошибки.

Интересно, однако, что признание неточности наших прогнозов способно помочь нам точнее предсказывать. Это видно на очень простом эксперименте. Человек сидит перед красной и синей лампочками и должен угадывать, какая из них мигнёт. Это повторяется много раз и испытателю платят за успешные предсказания. Лампочки мигают случайным образом — 70% красная, 30% синяя. Испытатели быстро понимают, что красная мигает чаще. Однако они думают, что мигания подчинены некоему закону, и редко допускают мысль о случайном порядке миганий. В результате они пытаются угадать каждое мигание отдельно и в среднем угадывают 70% красных вспышек и 30% синих. Это явно не лучшая стратегия.

Рассмотрим подробнее. Человек угадывает 70% красных вспышек и 30% синих при том, что соотношение “красные к синим” равно 70:30. Для серии из ста попыток из 70-ти красных было угадано 49 (70% от 70) и из 30 синих угадано 9 (30% от 30). Общий процент попаданий — 58%. Это намного меньше, чем если бы просто заметить, что красная лампочка мигает гораздо чаще и каждый раз предсказывать красную вспышку — количество верных попаданий в этом случае составило бы 70%.

Оптимальная стратегия в данном случае подразумевает, что необходимо смириться с тем, что синие вспышки не будут угадываться никогда. Так как за иногда угаданные синие вспышки тоже платят, кажется неочевидным, что есть смысл вообще не угадывать синие. Однако правильное вероятностное мышление именно это и требует — сосредоточиться на угадывании более частых красных вспышек, сознательно допуская ошибки при угадывании менее частых синих.

Допущение ошибок в менее частых случаях ради уменьшения общего числа ошибок — трудно.

В статистике известен термин “актуарное предсказание” — предсказание какого-то исхода для всех людей с определёнными признаками. Например, предсказание продолжительности жизни 77,5 лет для некурящих и предсказание продолжительности жизни 64,3 года для курящих — актуарные предсказания. Если отбирать более чем по одному признаку, такие предсказания можно сделать точнее. Пример: продолжительность жизни 58,2 лет для курящих, с излишним весом и не занимающихся спортом. Обычно подобные предсказания со многими признаками точнее предсказаний с одним признаком. Они применяются в экономике, криминалистике, медицине, психологии и много где ещё.

Некоторые группы практикующих психологов, тем не менее, заявляет о своей способности точно предсказывать не для групп, но для конкретных людей. Такие предсказания называются клиническими.

Клинические предсказания могли бы служить хорошим дополнением к актуарным, если бы не одно “но” — они не работают.

Чтобы клинические предсказания можно было применять, должен существовать способ легкой фиксации обозримого количества информации, необходимой врачу для предсказания. К сожалению, пока все попытки организовать подобное терпели неудачу.

Многочисленные исследования, проводимые на протяжении более сорока лет, неизменно показывают, что актуарные предсказания в целом точнее клинических, даже если врач гораздо больше знает о пациенте, чем статистик.

Если врачу сообщали актуарное предсказание и просили учесть его в клиническом предсказании, то даже в этом случае клинические предсказания оказывались менее точными. Это возвращает нас к обсуждавшемуся выше приему “сознательно согласиться с неизбежностью ошибок, чтобы уменьшить их количество”. Актуарные статистики следуют этому правилу, а клинические врачи — нет. Они стараются “угадать” каждый случай и в результате ошибаются чаще, чем статистики.

Заядлые игроки всячески избегают стратегии “допускать ошибки, чтобы уменьшить их общее количество”. Например, игроки в блекджек избегают так называемой базовой стратегии, снижающей норму прибыли казино с 6-8% .до 1%, потому что уверены в том, что возможна стратегия, эффективная не на последовательности игр, а в каждой игре в отдельности. Вместо актуарной стратегии, статистически сберегающей тысячи долларов, они предпочитают клиническую, исходящую из каждой конкретной ситуации.